九年级数学 · 数学活动
书本形状与无理数
为什么裁出来的书，长宽比大多接近 1.4？
从一本书的诞生出发，经历测量、猜想、证明、探究与应用，研究对折后形状不变的矩形，认识白银比 $1:\sqrt{2}$ 与白银数 $\sqrt{2}+1$。
A0 纸（841 mm × 1189 mm）每对折一次，得到下一号纸，形状始终不变
学习路径
课前任务、课堂六个环节与课后作业；各环节列出所用的 GeoGebra 文件，点击名称在新页面打开。
环节一情境引入
示意动画《一本书的诞生》：对折、裁切、开本；“16 开”与“A4”的区别。
GeoGebra
本环节不使用
环节二度量猜想
分析全班测得的长宽比，提出“对折后形状不变”的猜想。
GeoGebra
本环节不使用
环节四性质再探
主线：怎样分割一个矩形，分出的部分仍与原矩形相似？
- 问题1 从对折一次到对折多次：A 类纸家族
- 问题2 平均分成 $n$ 份：拍照上传证明，AI 学伴即时提示
- 问题3 换一种分法：剪去最大的正方形，得到白银数
课后分层作业
- A 层：测量信封与笔记本，叠放对照检验两本书的形状
- B 层：白银分割点作图；学完黄金分割后探究黄金矩形
- C 层：白银比与黄金比的对比；给小学同学讲清 A4 纸的秘密
GeoGebra 文件
文件编号与教学设计、课件一致；S 为学生探究版，T 为教师讲评版。
| 文件 | 使用位置 | 网址 |
|---|---|---|
| 学生探究版 | ||
| S1 对折保形 | 课后自主探究 | geogebra.songting.com/?f=S1 |
| S2 45°折痕作图 | 环节三 | geogebra.songting.com/?f=S2 |
| S3 A类纸对折 | 环节四 问题1 | geogebra.songting.com/?f=S3 |
| S4 剪去正方形 | 课后 B、C 层 | geogebra.songting.com/?f=S4 |
| S5 白银分割作图 | 课后 B 层 | geogebra.songting.com/?f=S5 |
| S6 n等分找规律 | 课后自主探究 | geogebra.songting.com/?f=S6 |
| S7 正八边形与白银数 | 环节五 | geogebra.songting.com/?f=S7 |
| S8 应用检验 | 环节五 | geogebra.songting.com/?f=S8 |
| S9 课后驿站 | 环节六布置，课后完成 | geogebra.songting.com/?f=S9 |
| 教师讲评版 | ||
| T1 对折保形 | 备用 | geogebra.songting.com/?f=T1 |
| T2 45°折痕 | 环节三 | geogebra.songting.com/?f=T2 |
| T3 A类纸对折 | 环节四 问题1 | geogebra.songting.com/?f=T3 |
| T4 剪去正方形 | 环节四 问题3；课后作业讲评 | geogebra.songting.com/?f=T4 |
| T6 n等分保形 | 环节四 问题2 | geogebra.songting.com/?f=T6 |
数学要点
本课推出的四个结论。
白银比
$1:\sqrt{2}$
等腰直角三角形的直角边与斜边之比；A 类纸的宽与长之比。长宽比为 $\sqrt{2}:1$ 的矩形对折后与原矩形相似。
白银数
$\sqrt{2}+1\approx 2.414$
A4 纸剪去一个最大正方形，剩下纸条的长宽比。白银数矩形剪去两个最大正方形后与原矩形相似。
$n$ 等分保形
$\sqrt{n}:1$
把长边 $n$ 等分后每一份都与原矩形相似，长宽比为 $\sqrt{n}:1$；$n=2$ 时就是 A 类纸。
A 类纸
A0 = 1 m²
A0 约 841 mm × 1189 mm；A4 的边长是 A0 的 $\frac{1}{4}$，约 210 mm × 297 mm。复印放大 141%、缩小 71%。